حل المعادلات والمتباينات الأسية .. أنواع المعادلات والمتباينات

حل المعادلات والمتباينات الأسية يعد من أول المفاهيم والقوانين في فرع الجبر من مادة الرياضيات، وهي علاقات رياضية يتطلب حلها المعرفة التامة لقوانين الدالة الأسية، وفي هذا المقال سيتم تبسيط مفهوم المتباينات الأسية وتوضيح كيفية حلها.

تعريف المعادلات والمتباينات

قبل شرح كيفية حل المعادلات والمتباينات الأسية يجب تحديد الفرق بين المعادلات والمتباينات، فالمعادلة في الرياضيات هي عبارة عن علاقة مساواة بين طرفيين رياضيين مكونة من رموز رياضية، وذلك من خلال علامة التساوي (=)، فتسمى مثلًا المعادلة الآتية: س+5=9، معادلة ذات مجهول واحد، أما المتباينة أو المتراجحة، فهي علاقة رياضية بين طرفين تحوي أحد الرموز الآتية: (>، ≤، ≥، >)، وهي بالتالي تعبّر عن اختلاف قيمة عنصرين رياضيين، وعليه فإن المتباينة تعبر عن مقارنة بين طرفين، بينما المعادلة هي عبارة عن مساواة بين عنصريين.[1]، [2]

حل المعادلات والمتباينات الأسية

يختلف حل المعادلات والمتباينات الأسية حسب العلاقة الرياضية بين الطرفيين، فتضم المتباينة الأسية عناصر من النموذج س^ع، حيث س و ع هي أرقام موجبة حقيقية، وكأمثلة على هذه المتباينات نذكر ما يأتي:[3]

2 ^{س + 2} > 1/32
2 ^{س + 2} > 2  -5
س + 2 > 7-
س> 7-

ومن المعادلات التي تضم دالة الأسية نذكر المثال الآتي:

إذا كان س عدد حقيقي، فإن:

4 ^{2 س ـ 1} = 64
ومنه:
4 ^{2 س ـ 1} = 4³
2 ^{2 س ـ 1} = 3
فإن:
2^س = 4
س = 4 ÷ 2
إذن:
س = 2

ونذكر أيضًا المثال الثاني الآتي:[4]

أ^س = أ^ص، وهي معادلة تحل باستخدام القانون الآتي: عندما تتساوى الأساسات فإن الأسس متساوية، وبذلك فإنه أ^س = أ^ص، يكون فيها: س= ص، إذا كان  (أ) أكبر من صفر، ولا يساوي واحد، فمثلًا: 3 ^(س+1) = 9

ويكمن في إعادة صياغة المعادلة لتصبح الأساسات متساوية، وذلك كما يأتي:

3 ^(س+1) = 3²
وبما أن الأساسات متساوية، فإن الأسس متساوية وعليه:
س+1= 2، إذن: س = 1.

أنواع المعادلات والمتباينات

بعد تحديد وشرح كيفية حل المعادلات والمتباينات الأسية من الضروري تحديد أنواع المعادلات الجبرية، والتي تقسم حسب مكوناتها وعناصرها إلى ما يأتي:[1]

• المعادلات الحدودية، وهي معادلة تساوي بين متعددة حدود ما، ومتعددة حدود أخرى.
• المعادلات الجبرية، وهي علاقة مساواة بين عنصرين جبريين يحوي أحدهما أو كلاهما متغيرًا واحدًا على الأقل .
• المعادلات الخطية، وهي معادلة جبرية بسيطة تسمى بمعادلة من الدرجة الأولى.
• المعادلات المتسامية، وهي المعادلة التي تحتوي على دالة متسامية أي دالة مثلثية أو أسية أو معكوساتهما.
• المعادلات التفاضلية، وهي المعادلات التي تربط دالة ما بمشتقاتها.
• المعادلات الديوفانتية، نسبة إلى العالم اليوناني ديوفنتس، وهي معادلة حدودية تتكون من متغيرات متعددة تحل بأعداد صحيحة أو يبرهن على استحالة حلها.
• المعادلات الدالية، وهي معادلات يكون فيها المجهول أو المجاهيل دوالًا بدلًا من أن تكون مجرد متغيرات.
• المعادلات التكاملية، وهي معادلة تضم دالة غير مُعرفة بجوار إشارة التكامل.

أما المتراجحات، فهي تنقسم بين البسيطة والمعقدة، ومنها مايسمى بالمتباينات الشهيرة في الرياضيات، ونذكر منها ما يأتي:[2]

• المتباينة المثلثية، والتي تتمثل في أن طول أي ضلع من أضلاع المثلث أصغر حتمًا من مجموع طول الضلعين الآخرين وأكبر حتمًا من الفرق بينهما.
• متراجحة كوشي-شفارز، والتي تحمل اسم العالمين الفرنسي كوشي، والروسي شفاراز، والمتعلقة بالقواعد الأقليدية والمثلثات.
• متباينة العالم الروسي أندري ماركوف، والخاصة بالدوال.
• متراجحة السويسري برنولي، الخاصة بالدالة الأسية.

حل المعادلات والمتباينات الأسية يتضمن شقين مختلفين، وهما حل المعادلات وحل المتراجحات، إذ تختلف المعادلة عن المتباينة بشكل عام في الإشارات الرياضية التي تقسم بين طرفي العلاقة، وعليه فيجب وضع القوانين والمبادىء الرياضية الخاصة بهما نصب الأعين، والتركيز على كل مكون من طرفي العلاقة.