حل معادلة من الدرجة الثانية

كتابة حسام - تاريخ الكتابة: 19 ديسمبر 2020 , 20:12
حل معادلة من الدرجة الثانية

حل معادلة من الدرجة الثانية ، حيث تعد المعادلات من الدرجة الثانية نوع من المعادلات الرياضية، وفي الواقع هناك أكثر من طريقة لحل هذا النوع من المعادلات، وفي هذا المقال سنوضح بالتفصيل ما هي المعادلة من الدرجة الثانية، كما وسنوضح طرق حل هذه المعادلات بالخطوات التفصيلية مع الأمثلة المحلولة على كل نوع.

حل معادلة من الدرجة الثانية

إن المعادلة من الدرجة الثانية (بالإنجليزية: Quadratic Equation)، هي معادلة رياضية جبرية، ذات متغير رياضي واحد من الدرجة الثانية، كما ويسمى هذا النوع من المعادلات بالمعادلات التربيعية، وأما الصيغة الرياضية العامة للمعادلة من الدرجة الثانية تكون على الشكل التالي:[1]

أ س² + ب س + جـ = 0

حيث إن:

  • الرمز أ: هو المعامل الرئيسي للحد س²، مع وجود شرط بإن أ ≠ 0.
  • الرمز ب: هو المعامل الرئيسي للحد س.
  • الرمز جـ: هو الحد الثابت في المعادلة وهو عبارة عن رقم حقيقي.
  • الرمز س²: هو الحد التربيعي في المعادلة، ويشترط وجوده بالمعادلة التربيعية.
  • الرمز س: هو الحد الخطي في المعادلة، ولا يشترط وجوده بالمعادلة التربيعية، حيث يمكن أن تكون ب = 0.

كما ويوجد هناك عدة طرق مختلفة لحل المعادلات من الدرجة الثانية أو المعادلات التربيعية وهذه الطرق الرياضية هي:

  • حل معادلة من الدرجة الثانية بالصيغة التربيعية.
  • حل معادلة من الدرجة الثانية بطريقة إكمال المربع
  • حل معادلة من الدرجة الثانية بطريقة حساب المميز أو ما تسمى بالقانون العام.
  • حل معادلة من الدرجة الثانية بطريقة الرسم البياني.

حل معادلة من الدرجة الثانية بالقانون العام

يستخدم القانون العام لحل أي معادلة من الدرجة الثانية، ولكن يشترط لإستخدام هذا القانون أن يكون المميز للمعادلة التربيعية موجباً أو يساوي صفر، والمميز هو ما تحت الجذر في القانون العام  ويرمز له بالرمز ، ويسمى دلتا، والقانون العام يكون على شكل الصيغة الرياضية التالية:[2]

س = ( – ب ± ( ب² – 4 أ جـ )√ ) / 2 أ
المميز = ب² – 4 أ ج
= ب² – 4 أ ج

حيث يكون:

  • الرمز أ: هو المعامل الرئيسي للحد س²، مع وجود شرط بإن أ ≠ 0.
  • الرمز ب: هو المعامل الرئيسي للحد س.
  • الرمز جـ: هو الحد الثابت في المعادلة وهو عبارة عن رقم حقيقي.

أما الرمز ± يعني وجود حلان وجذران للمعادلة التربيعية، وهما كالأتي:

س1 = ( -ب + ( ب² – 4 أ جـ )√ ) / 2 أ
س2 = ( -ب – ( ب² – 4 أ جـ )√ ) / 2 أ

حيث يكون:

  • الرمز س1: هو الحل الأول للمعادلة التربيعية.
  • الرمز س2: هو الحل الثاني للمعادلة التربيعية.

ولكن الذي يحدد عدد الحلول للمعادلة التربيعية أو حتى عدم وجود حلول هو قمية ومقدار المميز، وذلك من خلال ما يلي:

المميز = ب² – 4 أ ج
= ب² – 4 أ ج

حيث أن:

  • Δ > صفر: إذا كان مقدار المميز موجباً، فإن للمعادلة حلان وهما س1 و س2.
  • Δ = صفر: إذا كان مقدار المميز يساوي صفر، فإن للمعادلة حل وحيد مشترك وهو س.
  • Δ < صفر: إذا كان مقدار المميز سالباً، فلا يوجد للمعادلة حل حقيقي، فالحل يكون عبارة عن أعداد مركبة.

وعلى سبيل المثال لحل المعادلة س² + 2س – 15 = 0 بالقانون العام، تكون طريقة الحل كالأتي:

س² + 2س – 15 = 0

  • أولاً نحدد المعاملات للحدود حيث إن أ = 1، و ب = 2، و جـ = -15.
  • نجد قيمة المميز Δ من خلال القانون:
    = ب² – 4 أ ج
    = 2² – (4 × 1 × -15)
    = 64
    وبما أن الحل موجب فهذا يعني أن للمعادلة التربيعية حلان أو جذران وهما س1 و س2.
  • نجد قيمة الحل الأول س1 للمعادلة من الدرجة الثانية من خلال القانون.
    س1 = ( -2 + ( 2² – (4 × 1 × -15) )√ ) / 2 × 1
    س1 = ( -2 + 64√ ) / 2 × 1
    س1 = 3
  • نجد قيمة الحل الثاني س2 للمعادلة من الدرجة الثانية من خلال القانون.
  • س2 = ( -ب – ( ب² – 4 أ جـ )√ ) / 2 أ
    س2 = ( -2 – 64√ ) / 2 × 1
    س2 = -5

وهذا يعني أن للمعادلة س² + 2س – 15 = 0 ، حلان أو جذران وهما س1 = 3 و س2 = -5.

حل معادلة من الدرجة الثانية بطريقة المميز

في الواقع إن طريقة المميز هي نفسها طريقة القانون العام لحل المعادلات من الدرجة الثانية، وعلى سبيل المثال لحل المعادلة الرياضية من الدرجة الثانية التالية 2س² – 11س = 21 بطريقة المميز، تكون طريقة الحل كالأتي:[2]

  • تحويل هذه المعادلة 2س² – 11س = 21 للشكل العام للمعادلات التربيعية، حيث يتم نقل 21 إلى الجهة الأخرى من المعادلة لتصبح على هذا النحو، 2س² – 11س – 21 = 0.
  • نحدد المعاملات للحدود حيث إن أ = 2، و ب = -11، و جـ = -21.
  • نجد قيمة المميز Δ من خلال القانون:
    = ب² – 4 أ ج
    = 11-² – (4 × 2 × -21)
    = 47
    وبما أن الحل موجب فهذا يعني أن للمعادلة التربيعية حلان أو جذران وهما س1 و س2.
  • نجد قيمة الحل الأول س1 للمعادلة من الدرجة الثانية من خلال القانون.
    س1 = ( 11 + ( 11² – (4 × 2 × -21) )√ ) / 2 × 2
    س1 = ( 11 + 47√ ) / 2 × 12
    س1 = 7
  • نجد قيمة الحل الثاني س2 للمعادلة من الدرجة الثانية من خلال القانون.
  • س2 = ( -ب – ( ب² – 4 أ جـ )√ ) / 2 أ
    س2 = ( 11 – 47√ ) / 2 × 2
    س2 = -1.5

وهذا يعني أن للمعادلة 2س² – 11س – 21 = 0 ، حلان أو جذران وهما س1 = 7 و س2 = -1.5.

حل معادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد

حيث تستخدم طريقة إكمال المربع لحل المعادلة الرياضية من الدرجة الثانية بمجهول واحد، وتعتمد طريقة الحل هذه على كتابة المعادلة التربيعية على الشكل الرياضي التالي:[3]

 أ س² + ب س = جـ

حيث يكون:

  • الرمز أ: هو المعامل الرئيسي للحد س²، مع وجود شرط بإن أ ≠ 0.
  • الرمز ب: هو المعامل الرئيسي للحد س.
  • الرمز جـ: هو الحد الثابت في المعادلة وهو عبارة عن رقم حقيقي.

و المبدأ هو إكمال المربع في العدد أ س² + ب س، و بالتالي الحصول على مربع كامل في الطرف الأيسر من المعادلة و على عدد أخر في الطرف الأيمن، وذلك يكون من خلال هذه الخطوات:

  • قسمة طرفي المعادلة من الدرجة الثانية على معامل الحد التربيعي وهو المعامل أ.
  • نقل الحد الثابت من المعادلة إلى طرف المعادلة الأخر لجعله موضوعاً للقانون.
  • إضافة إلى طرفي المعادلة الأخيرة مربع نصف معامل الحد الخطي وهو المعامل ب.
  • حل المعادلة الناتجة بعد إضافة مربع نصف المعامل ب.

وعلى سبيل المثال لحل المعادلة الرياضية من الدرجة الثانية 5س² – 4س – 2 = 0، بطريقة إكمال المربع يكون الحل كالأتي:

  • قسمة طرفي المعادلة من الدرجة الثانية على معامل الحد التربيعي وهو المعامل أ = 5 ، لينتج ما يلي:
    س² – 0.8 س – 0.4 = 0
  • قل الحد الثابت من المعادلة إلى طرف المعادلة الأخر لجعله موضوعاً للقانون، لتصبح المعادلة على هذا النحو:
    س² – 0.8 س = 0.4
  • إضافة إلى طرفي المعادلة الأخيرة مربع نصف معامل الحد الخطي وهو المعامل ب = -0.8، ويكون على هذا النحو:
    ب = -0.8
    (2/ب)² = (0.8/2)² = (0.4)² = 0.16
    لتصبح المعادلة على هذا النحو س² – 0.8 س + 0.16 = 0.4 + 0.16
  • بعد إختصار وتبسيط المعادلة الناتجة تصبح:
    (س – 0.4)² = 0.56
  • حل المعادلة الناتجة، لتصبح على هذا النحو:
    (س – 0.4)² = 0.56
    وبما أنه يوجد جذر هذا يعني أن هناك حلان وهما س1 و س2:
    س1 – 0.4 = 0.56√
    س1 – 0.4 = 0.74833
    س1 = 0.74833 + 0.4
    س1 = 1.14
    س2 – 0.4 = 0.56√
    س2 – 0.4 = -0.74833
    س2 = -0.74833 + 0.4
    س2 = 0.3488-

وهذا يعني أن للمعادلة 5س² – 4س – 2 = 0 ، حلان أو جذران وهما س1 = 1.14 و س2 = -0.3488.

حل معادلة من الدرجة الثانية بمجهولبن

يمكن حل المعادلة الرياضية من الدرجة الثانية ذات مجهولين، بأي طريقة مستخدمة لحل المعادلات التربيعية ما عدا طريقة الجذر التربيعي، وإن المعادلة التربيعية بمجهولين تعني أن الحد الخطي وهو س ومعاملة ب لا يساوي صفر، ويمكن حل المعادلة من الدرجة الثانية بمجهولين بطريقة التحليل إلى عوامل، وهذه الطريقة تعني تحويل المعادلة ذات الثلاثة حدود، وهي الحد التربيعي س² والحد الخطي س والحد الثابت جـ، إلى معادلة مكتوبة على شكل حدين مضروبين ببعضهما البعض، وذلك بعد إستخدام طريقة التجربة والخطأ، وفي الواقع تعتمد هذه الطريقة على أساس التخمين الرياضي، وهناك حالتين لهذه الطريقة وهما:[4]

معامل الحد التربيعي يساوي واحد

أ = 1، وهذا يعني عندما يكون معامل الحد التربيعي يساوي واحد، فتكون طريقة التحليل بالبحث عن عددين حاصل جمعهما يساوي معامل الحد الخطي ب، وناتج ضربهما يساوي الحد الثابت جـ، وبعد إيجاد الرقمين ن و م يتم كتابتهم على هذا الشكل التالي:

(س+ن)(س+م)
ومن هذه سنتنج أنه:
س1 = -م
س2 = -ن

وعلى سبيل المثال لتحليل المعادلة من الدرجة الثانية الأتية س² + 3س – 10 = 0، يجب أن نبحث عن عددين حاصل جمعهما يساوي معامل الحد الخطي ب وهو 3، وناتج ضربهما يساوي الحد الثابت جـ وهو -10 والعددين هما:

ن = 5
م = -2

حيث إن مجموع العددين م و ن هو 3، وحاصل ضربهما هو -10 مما يعني:

  • م+ن = ب
    5+-2 = 3
  • م × ن = جـ
    5 × -2 = -10

ثم يتم كتابتهم على هذا الشكل التالي:

(س+5)(س-2)
ومن هذه سنتنج أنه:
س1 = -5
س2 = 2

معامل الحد التربيعي لا يساوي واحد

أ ≠ 1، وهذا يعني عندما يكون معامل الحد التربيعي لا يساوي واحد، فتكون طريقة التحليل كالأتي:

  • أولا: كتابة المعادلة على الصورة القياسية العامة للمعادلة التربيعية:
    أ س² + ب س + جـ = 0
  • ثانياً: إيجاد حاصل ضرب أ × جـ، ثم إيجاد عددين حاصل جمعهما يساوي ب، وناتج ضربهما يساوي أ × جـ.
  • ثالثاً: كتابة العددين م و ن ، مكان المعامل ب في المعادلة على صورة جمع لتصبح كالأتي:
    أ س² + (ن+م) س + جـ = 0.
  • رابعاً: فصل العددين ن و م عن بعضهما بضربهما بالحد الخطي س، لتصبح المعادلة على هذا النحو:
    أ س² + ن س + م س + جـ = 0.
  • خامساً: تحليل أول حدين وهما أس² + ن س، وذلك بإخراج عامل مشترك منهما، بحيث يكون ما بقي داخل الأقواس متساوياً.
  • سادساً: تحليل أخر حدين وهما م س+ جـ، وذلك بإخراج عامل مشترك بينهما، بحيث يكون ما بقي داخل الأقواس متساوياً.
  • سابعاً: أخذ القوس المتبقي كعامل مشترك، ثم يتم كتابة المعادلة التربيعية على الصورة النهائية، وذلك على صورة حاصل ضرب الحدين.
  • ثامناً: إيجاد الحلول لهذه المعادلة الرياضية.

وعلى سبيل المثال لتحليل المعادلة من الدرجة الثانية 4 س² + 15س + 9 = 0، نتبع الخطوات السابقة:

  • أولا: كتابة المعادلة على الصورة القياسية العامة للمعادلة التربيعية:
    4 س² + 15س + 9 = 0
  • ثانياً: إيجاد حاصل ضرب أ × جـ، ليكون 4 × 9 = 36، ثم إيجاد عددين حاصل جمعهما يساوي ب = 15، وناتج ضربهما يساوي 36 وهما:
    ن = 3
    م = 12
  • ثالثاً: كتابة العددين م و ن ، مكان المعامل ب في المعادلة على صورة جمع لتصبح كالأتي:
    4 س² + (3+12) س + 9ـ = 0.
  • رابعاً: فصل العددين ن و م عن بعضهما بضربهما بالحد الخطي س، لتصبح المعادلة على هذا النحو:
    4س² + 3س + 12س + 9 = 0.
  • خامساً: تحليل أول حدين وهما 4س² + 3 س، وذلك بإخراج عامل مشترك منهما، حيث يؤخذ الرقم 3 كعامل مشترك، لتكتب المعادلة على الصورة الآتية:
    س ( 4س + 3 ).
  • سادساً: تحليل أخر حدين وهما 12 س+ 9، وذلك بإخراج عامل مشترك بينهما، حيث يؤخذ الرقم 3 كعامل مشترك، لتكتب المعادلة على الصورة الآتية:
    3 ( 4س + 3 ).
  • سابعاً: أخذ القوس المتبقي كعامل مشترك، حيث بتم أخذ الحد ( 4س + 3 ) كعامل مشترك، لتكتب المعادلة على النحو:
    ( 4س + 3 ) × ( س + 3 ) = 0.
  • ثامناً: إيجاد الحلول للمعادلة، حيث ينتج من المعادلة ما يلي:
    ( 4س + 3 ) = 0، ومنه ينتج أن س1 = -0.75
    ( س + 3 ) = 0، ومنه ينتج أن س2 = -3

وهذا يعني أن للمعادلة 4 س² + 15س + 9 = 0 ، حلان أو جذران وهما س1 = -0.75 و س2 = -3.

وفي ختام هذا المقال نكون قد وضحنا بالتفصيل طرق حل معادلة من الدرجة الثانية، كما وشرحنا ما هي المعادلة التربيعية، وذكرنا طرق حلها بالقانون العام أو بطريقة المميز، وذكرنا طريقة حل المعادلة التربيعية بمجهول واحد وبمجهولين بطريقة التحليل للعوامل.

المراجع

  1. ^ khanacademy.org , The quadratic formula , 19/12/2020
  2. ^ mathsisfun.com , example of a Quadratic Equation: , 19/12/2020
  3. ^ cliffsnotes.com , Solving Quadratic Equations , 19/12/2020
  4. ^ mathpapa.com , Quadratic Formula Calculator , 19/12/2020
1633 مشاهدة