الدوال الرئيسية الام والتحويلات الهندسية .. العمليات على الدوال بالأمثلة المحلولة

يتمّ استخدام الدوال الرئيسية الام والتحويلات الهندسية للوصول إلى الدّوال الرّئيسيّة الأخرى في الرّياضيّات، وتساعدنا هذه الدّوال في الحصول على كثير من المعلومات في الفيزياء والكيمياء أيضًا عند تمثيلها بيانايّاً على المستوى الدّيكارتي المعروف، كما أنّها تمثّل جزءاً من كتاب الصّفّ الثّالث الثّانويّ في السّعوديّة أيضًا، ومن الأمثلة على هذا النّوع من الدّوالّ دالّة أكبر عدد صحيح بالإضافة إلى دالّة الجذر التّربيعيّ.

الدوال الرئيسية الام والتحويلات الهندسية

يحتوي كتاب الرّياضيّات للصّفّ الثّالث الثّانويّ في المملكة العربيّة السّعوديّة على فصل كامل يتحدّث عن الدّولّ الرّئيسة الأمّ والتّحويلات الهندسيّة، وتعرف الدّالّة الرئيسة بأنّها الدّالة الأبسط في عائلتها، كما أنّها الدّالّة التي يتمّ استخدامها لإيجاد الدّوال الأخرى في العائلة عن طريق التّحويلات الهندسيّة، ومنها: الدّالّة الثابتة والدّالّة التّربيعيّة والدّالّة التّكعيبيّة بالإضافة إلى الدّالة المحايدة ودالّة الجذر التّربيعيّ، وفيما يأتي بعضاً من أبرز الدّوال الرئيسة الأمّ.[1]

الدالة الثابتة

تتمّ كتابة الدّالّة الرّئيسة الأمّ للدّوال الثّابتة على الصّورة ق(س)=ج أو الصّورة f(x)=C، ويمثّل الرّمز ج والرّمز C عدداً حقيقيّاً، ويتمّ تمثيل هذه الدّالّة على المستوى الدّيكارتي بخطّ مستقيم أفقيّ يمتدّ إلى ما لا نهاية، ومن الأمثلة عليها: ق(س)=4 أو ق(س)=20 أو ق(س)=0.5 أيضًا.

الدالة المحايدة

تعرف الدّالّة المحايدة بأنّها الدّالّة التي يرتبط كلّ عنصر فيها مع نفسه ويكون مجالها ومجالها المقابل من المجموعة نفسها، وتُكتب هذه الدّالّة على الصّورة ق(س)=س أو الصّورة f(x)=x، ويتمّ تمثيلها على المستوى الدّيكارتي بخطّ مائل يمتدّ من ما لا نهاية إلى ما لا نهاية أيضًا.

الدالة التربيعية

تتميّز الدّالّة التّربيعيّة بشكلها الذي يشبه حرف U عند تمثيلها على خطّ الأعداد في المستوى الدّيكارتي، ويمكن كتابة الدّالّة الرّئيسة الأمّ لكافّة الدّوال التّربيعيّة التي تتمّ دراستها في مادّة الرّياضيّات على الصّورة ق(س)=س² أو الصّورة f(x)=x² أيضًا، ويمثّل كلّ من الرّمز س والرّمز X عدداً متغيّراً؛ حيث تصبح دالّة ثابتة إذا لم يكن كذلك.

الدالة التكعيبية

تُكتب الدّالّة الرّئيسة الأمّ لكافّة الدّوالّ التّكعيبيّة على الصّورة ق(س)=س² أو الصّورة f(x)=x²، وتتميّز هذه الدّالّة بخطّيها المتماثلين حول نقطة الأصل عند تمثيلها على المستوى الدّيكارتي بالرّغم من اتّجاه أحدهما إلى خطّ الأعداد السّالبة والآخر إلى خطّ الأعداد الموجبة على محور الصّادات.

دالة الجذر التربيعي

تعدّ دالّة الجذر التّربيعيّ واحدة من الدّوالّ الرّئيسة الأمّ، ويمكن كتابة هذه الدّالّة على الصّورة f(x)=√x، ولا بدّ أن يكون العدد X متغيّراً تزيد قيمته عن الصّفر؛ فإنّ هذه الدّالّة تصبح دالّة ثابتة إذا لم يكن العدد X متغيّراً كما يستحيل أن ينتج عدد سالب عند ضرب عدد بنفسه أيضًا، وهي دالّة تتمّ دراستها في فصل الدوال الرئيسية الام والتحويلات الهندسية أيضًا.

دالة المقلوب

تُكتب دالّة المقلوب على الصّورة ق(س)=1/س أو على الصّورة f(x)=1/x بشرط أن لا تساوي قيمة المتغيّر X أو المتغيّر س صفراً؛ فإنّه يستحيل قسمة أيّ عدد على العدد صفر في الرّياضيّات، وتتميّز هذه الدّالّة بتماثلها حول محور الأصل عند تمثيلها على المستوى الدّيكارتي أيضًا.

دالة القيمة المطلقة

تُكتب دالّة القيمة المطلقة على الصّورة ق(س)=|س| وتتميّز بمنحناها الذي يشبه شكل الحرف V عند تمثيلها على المستوى الدّيكارتي، ويتمّ تعريف هذه الدّالّة على النّحو الآتي:

• ق(س)=|-س| إذا كانت س أصغر من صفر.
• ق(س)=|س| إذا كانت س أكبر من أو تساوي صفر.

دالة أكبر عدد صحيح

تعرف دالّة أكبر عدد صحيح بأنّها الدّالّة التي تمثّل أكبر عدد صحيح تقلّ قيمته أو تساوي المتغيّر X أو س، وهي واحدة من الدّوالّ الرّئيسة الأمّ وتتمّ كتابتها على الصّورة ق(س)=[س]، وتتميّز هذه الدّالّة بخطوطها المنقطعة عن بعضها البعض عند تمثيلها على المستوى الدّيكارتي؛ حيث يشبه شكلها شكل الدّرجات.

العمليات على الدوال أمثلة محلول

يحتوي كتاب الرّياضيّات للصّفّ الثّالث الثّانويّ في السّعوديّة على كثير من الأسئلة التي تتعلّق بالدّوالّ الرئيسة الأمّ من أجل معرفة مستويات الطّلبة وتقييم مدى استيعابهم لجميع المفاهيم المطلوبة، وفيما يأتي بعضاً من الحلول لهذه الأسئلة.

• سؤال تحقّق من فهمك رقم (1): ارسم الدّالّة ق(س)=|س| مع تحديد المجال والمدى بالإضافة إلى تحديد المقطع س والمقطع ص وتحديد التّماثل والاتّصال وسلوك طرفي التّمثيل البياني وفترات التّزايد والتّناقص.

• سؤال تحقّق من فهمك رقم (2): استعمل منحنى الدّالّة الرّئيسة الأمّ ق(س)=س³ لتمثيل الدّوالّ الآتية بيانيّا:
  • الدّالّة h(x)=x³-5 a

• • الدّالّة h(x)=8+x³

• • الدّالّة h(x)=(x+2)³+4

• سؤال تحقّق من فهمك رقم (3):

• سؤال تحقّق من فهمك رقم (4):

• سؤال تحقّق من فهمك رقم (5):

• سؤال تحقّق من فهمك رقم (6):

يرغب الكثير من طلبة المملكة العربيّة السّعوديّة في معرفة الدوال الرئيسية الام والتحويلات الهندسية بالإضافة إلى معرفة الحلول الخاصّة بأسئلة هذه الدّوالّ في مقرّر الفصل الخامس من منهج الرّياضيّات للصّفّ الثّالث الثّانويّ أيضًا كما سبق؛ حيث تطرّق ها المنهج إلى ثماني دوالّ رئيسة، ومنها: دالّة القيمة المطلقة ودالّة المقلوب ودالّة الجذر التّربيعيّ.