قانون مساحة وحجم الاسطوانة

قانون مساحة وحجم الاسطوانة هو من القوانين الأساسية في الرياضيات، وهو يعد القاعدة التي يجب فهمها والالمام بكافة جوانبها في مجالات الهندسة المختلفة، وبعيدًا عن كونها قوانين حسابية فهي على أرض الواقع ترتبط بالعديد من الصناعات، كصناعة العلب البلاستيكية، وعلب الأدوية، ومستحضرات التجميل.

تعريف الاسطوانة

قبل الحديث عن قانون مساحة وحجم الاسطوانة من الضروري البدء بتعريف الأسطوانة، والتي تسمى باللغة الإنجليزية “Cylinder”، وهي من أشهر المجسمات الهندسية، وتعرف في علم الرياضيات على أنها مجسم ثلاثي الأبعاد، يتشكل سطحه من مجموعة نقاط تبعد مسافة معينة عن قطعة مستقيمة تسمى محور الأسطوانة، وهي بصيغة أخرى عبارة عن مستطيل يدور حول أحد أضلاعه دورة كاملة، حيث يسمى محور الدوران بـمحور الأسطوانة، كما تتميز الاسطوانة بدائرتين تحدان المجسم من الجهتين، وتسمى كل واحدة منهما بالقاعدة، كما تسمى القطعة المستقيمة التي تتعامد مع القاعدتين بارتفاع الأسطوانة.[1]

كيفية حساب مساحة الاسطوانة الجانبية والكلية

ينقسم قانون مساحة الاسطوانة إلى جزئين، الجانبية والكلية، وهي تحسب وفقًا للقوانين الحسابية الآتية:[2]

• قانون مساحة الاسطوانة الجانبية: وتسمى بالانجليزية “Curved Surface Area”، وهي عبارة عن محيط القاعدة × الارتفاع، وتكتب بالرموز كالآتي: 2×л×نق×ع.
• قانون مساحة الاسطوانة الكلية: وهو عبارة عن مجموع مساحة الدائرتين ومساحة المستطيل، أي مجموع المساحة الجانبية، ومساحة القاعدتين، وتحسب كالآتي: 2×л×نق×(نق+ع).

أمثلة على حساب مساحة الاسطوانة الكلية والجانبية

لتطبيق القوانين المذكورة سابقًا يجب تقديم بعض الأمثلة الحسابية، ومنها نذكر ما يأتي:[3]

• المثال الأول: احسب المساحة الكلية للاسطوانة التي نصف قطرها 5 سم، وارتفاعها 7 سم:

بتطبيق القانون الرياضي: 2×л×نق×(نق+ع).

نجد:

(2л×5×(5+7

ومنه:

بتعويض الثابت باي ب3.14 نجد أن: (2x 3.14 ×5×(5+7

وعليه فإن المساحة الكلية للاسطوانة تساوي 376.8 سم².

المثال الثاني: أحسب نصف قطر الاسطوانة، التي تقدر مساحتها الكلية ب2136.56م²، وارتفاعها 3م.

بتعويض المعطيات في القانون المذكور سابقًا نجد أن:

2136.56= 2×л×نق×(نق+3)

وبتعويض قيمة باي ب3.14.

نجد ما يأتي:

2136.56= 2×3.14×نق×(نق+3)

340.22=3نق+نق²

0=340.22-3نق+نق²

وعليه فإن:

نق=17م.

المثال الثالث: احسب المساحة الجانبية للاسطوانة التي قطر قاعدتها 56م، وارتفاعها 20م.

مع العلم أن نصف القطر يساوي قسمة القطر على 2، وبتعويض المعطيات في القانون المذكور سابقًا نجد ما يأتي:

المساحة الجانبية= 2×л×28×20

وعليه فإن المساحة الجانبية تساوي 3516.8م².

استخدامات الاسطوانة

يتضمن البحث عن قانون مساحة وحجم الاسطوانة الوقوف عند استخداماتها المختلفة، والتي يمكن تلخيصها في الوظائف الآتية:[4]، [5]

• الهندسة الميكانيكية: تتكون معظم المحركات من أسطوانات تضخ الوقود، أو الماء.
• ضغط الغازات: ومنها الخاصة بضغط الهواء، وتسمى الأسطوانات الهوائية.
• صناعة المعدات والآلات: كمركبات ومعدات البناء، وتصنيع الآلات.

حساب حجم الاسطوانة

يتكون الشق الثاني من قانون مساحة وحجم الاسطوانة، قانون حساب الحجم، وهو باللغة الإنجليزية “Cylinder volume “، وهو يعبر عن سعة الأسطوانة، وكمية المادة التي توجد بداخلها، ويمكن حساب هذا الحجم من خلال حاصل ضرب مساحة قاعدتها في ارتفاعها، وهو يكتب بالصيغة الرياضية كما يأتي: л × نق²×ع.[6]

أمثلة على حساب حجم الاسطوانة

بعد تقديم القانون الحسابي، وشرح مفهوم حجم الأسطوانة، في ما يأتي أمثلة تطبيقية على حساب حجم الاسطوانة:[6]

• المثال الأول: احسب حجم الأسطوانة التي نصف قطرها 8سم، وارتفاعها 15 سم.

بتطبيق القانون الحسابي نجد ما يأتي:

حجم الاسطوانة= л × 8 ²×15

وعليه فإن حجم الأسطونة يساوي: 3016م³.

• المثال الثاني: احسب نصف قطر الأسطوانة التي سعتها 440 سم³، وارتفاعها 35سم، مع العلم أن باي يساوي 22/7.[7]

بتعويض المعطيات في القانون الحسابي، نجد ما يأتي:

440= л × نق²×35

وبتعويض الثابت باي بقيمته نجد أن:

نق²= (440 × 7)/(22 × 35) = 3080/770 = 4

وعليه فإن نصف القطر يساوي 2سم.

قانون مساحة وحجم الاسطوانة يتطلب استيعاب المفهوم الهندسي، والحسابي للمجسم الاسطواني، إذ يمكن استخلاص القانون الحسابي انطلاقًا من المجسم ثلاثي الأبعاد، ويعد هذا القانون من أسس الرياضيات في أطوار التعليم المتوسطة والثانوية.