الدوال المثلثية في المثلثات القائمة الزاوية

كتابة ربا عبدالله - تاريخ الكتابة: 8 نوفمبر 2020 , 11:11 - آخر تحديث : 8 نوفمبر 2020 , 10:11
الدوال المثلثية في المثلثات القائمة الزاوية

تتعدد الدوال المثلثية في المثلثات القائمة الزاوية ، كما أن لمعرفة الدوال المثلثية في المثلثات القائمة الزاوية أهمية كبيرة في الحسابات الرياضية، وتساعد في إيجاد جميع المتغيرات المجهولة في أي مسألة حسابية، بناء على عدة خطوات يتم إتباعها للوصول إلى المتغير المراد إيجاده.

المثلث قائم الزاوية 

المثلث قائم الزاوية يشبه المثلثات الأخرى في أنه يحتوي على ثلاث أضلاع، ولكن طول أكبر ضلع فيه يسمى الوتر، بالإضافة إلى أنه  يتشابه مع المثلثات الأخرى في أن مجموع زواياه يجب أن تساوي 180º ، ولكن أهم ما يميزه أن احدى الزوايا يجب أن يكون قياسها 90، كما يجب الانتباه إلى أن الوتر يجب أن يكون مقابل للزاوية 90. [1]

الدوال المثلثية في المثلثات القائمة الزاوية

تكمن أهمية معرفة الدوال المثلثية في أنه يمكن استخدامها لإيجاد أطوال الأضلاع المفقودة في المثلثات القائمة الزاوية، بالإضافة إلى معرفة الزوايا المفقودة أيضًا.

وبدايةً وقبل التعرف على الدوال المثلثية في المثلثات القائمة الزاوية، يجب تذكر نظرية فيثاغورس الخاصة بالمثلث قائم الزاوية والتي من خلالها نستطيع إيجاد طول أي ضلع مجهول، ومعادلة هذه النظرية كالآتي: 

الوتر^2 = الضلع الأول^2 + الضلع الثاني ^2

وفي حال أعطي أي زاوية يجب تحديد الضلع المقابل لها والضلع المجاور لها، بالإضافة إلى الوتر، لأن تحديد هذه الأضلاع هو الذي سيساعدنا في تحديد الدوال المثلثية، ومن الدوال المثلثية في المثلثات القائمة الزاوية ، والمتعارف عليها هي ما يأتي: [1] 

جيب الزاوية

الدالة الأولى في المثلث القائم الزاوية هي جيب الزاوية واختصارها جاθ
حيث جاθ = طول الضلع المقابل ٪؜ طول الوتر

جيب تمام الزاوية 

جيب تمام الزاوية يرمز لها بالرمز جتاθ
حيث جتاθ = طول الضلع المجاور ٪؜ الوتر 

ظل الزاوية 

ظل الزاوية يرمز له بالرمز ظاθ
حيث ظاθ = طول الضلع المقابل % طول الضلع المجاور

قاطع الزاوية

حيث قاطع الزاوية يرمز له بالرمز قاθ
حيث قاθ = طول الضلع الوتر % طول الضلع المقابل

قاطع تمام الزاوية

قاطع تمام الزاوية يرمز له بالرمز قتاθ
حيث قتاθ = طول الوتر % طول الضلع المجاور

ظل تمام الزاوية 

ظل تمام الزاوية يرمز له بالرمز ظتاθ
حيث ظتاθ = طول الضلع المجاور % طول الضلع المقابل

أمثلة على الدوال المثلثية في المثلثات القائمة الزاوية

تتعدد أفكار الأسئلة التي تأتي على الدوال المثلثية في المثلثات القائمة الزاوية ، بناء على المعطيات المعطاة في أي سؤال، فمنها يكون معلوم فيه أطوال الأضلاع، ومجهول قياس إحدى الزوايا، ومنها ما يكون معطى في السؤال إحدى الزوايا، وإما واحد أو إثنان من أطوال الأضلاع مجهول، ويجب إيجاده.

إيجاد الزاوية بناء على توفر معلومات عن طول ضلعين على الأقل في المثلث قائم الزاوية

مثال: أوجد قياس الزاوية في مثلث قائم الزاوية، طول الوتر الخاص به 25 سم، وطول الضلع المقابل للزاوية المجهولة يساوي 12 سم.

الحل:  بما أنه معروف لدينا طول الوتر، وطول الضلع المقابل للزاوية إذًا نستخدم قانون جيب الزاوية.

جاθ = المقابل ٪؜ الوتر
جاθ =
12/ 25 =  0.48

ولايجاد الزاوية باستخدام الآلة الحاسبة نضغط على زر shift ونضع الرقم 0.48 فيكون الجواب هو 29º وهو قياس الزاوية المطلوبة.

ايجاد طول أحد الأضلاع في حال أعطيت قيمة أحد الزوايا، وقيمة أحد الأضلاع 

مثال ١ : سلم بطول 30 سم يتكئ على حائط، والزاوية بين السلم والأرض تساوي 32° ، ما هو الارتفاع المبنى من  الذي يصل إليه السلم.

الحل: أولًا باستخدام الآلة الحاسبة نجد جيب الزاوية 32 حيث أنه يساوي 0.5299 ونعوضها في القانون التالي

جاθ = طول الضلع المقابل ٪؜ الوتر
0.5299 = طول الضلع المقابل ٪؜ 30
وبحل هذه المعادلة يكون الارتفاع الذي سيصل اليه السلم يساوي 15.9 سم.

مثال ٢: لديك مثلث قائم الزاوية، إحدى زواياه الموضوعة على مستقيم يساوي 45 سم تساوي 62 º ، أوجد طول الضلع المقابل للزاوية.

الحل: بما أن المعلومات المعطاة هي زاوية، وطول الضلع المجاور يكون الحل على قانون ظل الزاوية حيث أن:

ظاθ = طول الضلع المقابل % طول الضلع المجاور
ونجد من الآلة الحاسبة ظل الزاوية 62، وسيكون الجواب 1.0887 وبالتعويض بالقانون
1.0887 = طول الضلع المقابل ٪؜ 45
وعليه يكون طول الضلع المقابل يساوي 84.6 سم .

وفي ختام هذه المقالة نلخص أهم ما تم التوصل اليه، وذلك بأن الدوال المثلثية في المثلثات القائمة الزاوية ، جيب الزاوية، وجيب تمام الزاوية، وظل الزاوية، بالإضافة إلى توضيحها بحل أمثلة متعددة.

المراجع

  1. ^ lumenlearning.com , Trigonometry and Right Triangles , 7/11/2020
2367 مشاهدة