بحث عن المتجهات في الفضاء الثلاثي الابعاد

بحث عن المتجهات في الفضاء الثلاثي الابعاد

بحث عن المتجهات في الفضاء الثلاثي الابعاد من الأبحاث التي كثيرًا ما تطلب من الطلاب ضمن مادتي الرياضيات والفيزياء، حيث أن كثيرًا من موضوعات مادة الفيزياء لا يمكن الإلمام بها وفهمها إلا بعد فهم المتجهات والعمليات التي يمكن إجراؤها عليها؛ من ضرب وطرح وجمع، وذلك لأن الكميات في علم الفيزياء تنقسم إلى كميات متجهة وكميات غير متجهة أو يقال لها كميات قياسية، والكميات القياسية من السهل أن نتعامل معها ونحن بطبيعة الحال معتادون عليها، لكن تبرز العقدة هنا في ضرورة تعلم الاتجاهات لفهم الكميات المتجهة.

شاهد أيضاً: كيفية كتابة مقدمة بحث

تعريف المتجهات في الفضاء الثلاثي الابعاد

يعرف المتجه بأنه  كمية لها مقدار واتجاه وهندسيًا، يمكننا أن نتخيل متجهًا على شكل قطعة مستقيمة موجهة، طولها هو مقدار المتجه، وفي نهايتها سهم يشير إلى الاتجاه؛ حيث يكون اتجاه المتجه من ذيله إلى رأسه. ويكون المتجهان متماثلان إن كان لهما نفس الحجم والاتجاه، هذا يعني أنه إذا أخذنا متجهًا وقمنا بنقله إلى موضع جديد مع بقائه في نفس الاتجاه، فإن المتجه الذي سنحصل عليه في نهاية هذه العملية هو نفس المتجه الذي كان لدينا في البداية. ومن الأمثلة على المتجهات متجهي القوة والسرعة؛ فكل من القوة والسرعة يكونان في اتجاه معينًا أما طول المتجه فيشير إلى مقدار القوة أو مقدار السرعة. [1]

بحث عن المتجهات في الفضاء الثلاثي الابعاد

مقدمة البحث: الكميات المتجهة من الأمور التي يهتم بها الفيزيائيون بشكل كبير، وذلك لعدم إمكانية إجراء العمليات الحسابية على الكميات الفيزيائية إلا من خلال فهم المتجهات، وما هو مفهومها، وكيف يمكننا أن نتعامل معها، وفي هذا البحث سوف نضع لك شرحًا وافيا عن المتجهات

شرح المتجهات في الرياضيات

أول ما يجب عليك أن تتعلمه هو أن المتجه يرمز له بحرف انجليزي وفوق سهم كهذا ( → )، أما الكمية القياسية فنرمز له فقط بحرف من دون سهم فوقه، وفي الصورة التالية يمكنك أن تلحظ أن المتجه المرموز له بالحرف (A) متجه موجود في بعدين اثنين، وهنا سوف أبدأ بالشرح لك عن المتجه في بعدين نظرًا لسهولة هذا الموضوع، فهنا المتجه A يمكن تحليله إلى مركبتين من عمل اسقاط عمودي على كل من المحورين السيني والصادي لنحصل على مسقط رأسي ومسقط أفقي، ونرمز لهما على الترتيب بالرمزين ( AY ، AX)؛ بحيث يمكننا أن نكتب المتجه بطريقتين الأولى عن طريق كتابة مركباته والثانية من خلال كتابة المقدار والزاوية كما ذكرنا سابقًا.

بحث عن المتجهات في الفضاء ثلاثي الأبعاد

من الشكل الهندسي السابق نستنتج أن المتجه A يمكن أن نكتبه كالتالي: ( A=AY+AX)، أما الطريقة الثانية فتكون من خلال كتابة المقدار ويليه الزاوية كما يأتي: ( A ∠θ ). مع ملاحظة أننا أهملنا وضع السهم فوق الكميات المتجهة لصعوبة ذلك.

لعلك تلاحظ أن الصورة في الأعلى تمثل متجه موضوع في الأبعاد الثلاثة، ويمكنك أن تكتبه بالطريقة نفسها التي ذكرناها سابقًا من خلال اسقاط المتجه على المركبات الثلاثة ( X، Y، Z)، بحيث يكون البعد الثالث هو البعد الداخل في العمق وهو ( Z )، وبالتالي يمكنك أن تكتب المتجه بالطريقة الآتية: ( A= AX+AY+AZ).

خاتمة البحث: يمكننا تلخيص ما سبق كالتالي؛ لكتابة المتجهات في ثلاثة أبعاد يتطلب هذا ثلاثة محاور عمودية متبادلة، وعادةً ما يتم عرض المحورين x و y أفقيًا والمحور z عموديًا، كما يمكن تحديد موضع النقطة التي يصل إليها سهم المتجه باستخدام ثلاثة إحداثيات (x ، y ، z)، ويكون الأصل O مُعطى بواسطة الاحداثيات (0 ، 0 ، 0) لهذه النقطة. [2]

عمليات على المتجهات في الفضاء ثلاثي الابعاد

كما ذكرنا هنالك أن أهمية دراسة المتجهات تبرز في العمليات التي يمكنك أن تجريها عليها لحل المسائل الفيزيائية وسوف نوضحها لكم فيما يأتي بطريقة وافية: [1]

جمع المتجهات

يمكنك أن تجري عملية جمع المتجهات من خلال الطريقة البيانية والطريقة الحسابية وسأبين لك كل منهما فيما يأتي:

  • الطريقة البيانية: لو فرضنا أن لديك متجهان الأول هو a، والثاني هو المتجه b ، يمكنك أن تجري عملية الجمع بينهما ( a + b)، من خلال رسم المتجه a بمقداره واتجاهه الصحيح، ومن ثم تضع ذيل المتجه b على رأس المتجه a ونرسمه، ومن ثم نرسم خطًا بدايته في في ذيل a ونهايته في رأس b، ويكون ذدا الخط الناتج هو مجموع المتجهين.

  • الطريقة التحليلية: بعد تحليل المتجهين المراد جمعهما إلى مركباتها السينية والصادية والزينية، نقوم بجمعهما من خلال جمع المركبات المتشابهة كما يأتي:
    a = ax +ay +az
    b = bx + by +bz
    a+b= (ax+bx)+(ay +by) +(az +bz)

طرح المتجهات

طرح المتجهات هي نفسها عمليّة جمع المتجهات مع فرق بسيط، فبدل جمع متّجهين نقوم بإضافة المتجه الأول إلى سالب المتجه الثاني. وهنا يجب أن تتعلم ما هو سالب المتجه؛ حيث أن سالب المتجه يكون من خلال عكس اتجاهه مع بقاء قيمته نفسها.

ضرب المتجهات

هناك نوعان لضرب المتّجهات؛ وهذان النوعان هما الضرب القياسي ونسميه الضرب النقطي، والضرب المتجهي ونسميه أيضًا الضرب التقاطعي، حيث أننا عندما نضرب متجهين ضربًا نقطيًا، فإن الناتج سوف يكون كميّة قياسيّة، أي لها مقدار وليس لها اتجاه، ولهذا يُعرَف هذا النوع من الضرب بالضرب القياسيّ، أما عندما نقوم بضرب متجهين ضربًا تقاطعيًا، سيكون الناتج متجهًا عموديًا على كل من المتّجهين الضروبين؛ ولهذا السبب يُعرَف بالضرب الاتّجاهي.

إلى هنا نكون قد وصلنا إلى خاتمة المقال، وكتبنا فيه بحث عن المتجهات في الفضاء الثلاثي الابعاد وشرحناه بالتفصيل، كما وضحنا ابتداءً مفهوم الكمية المتجهة وطريقة إجراء العمليات الأساسية عليها من الجمع والطرح والضرب بكل الأنواع.

المراجع

  1. ^ mathinsight.org , Math Insight , 9/12/2020
  2. ^ bestmaths.net , Three Dimensional Vectors , 9/12/2020

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *