ما هو قانون حجم الكرة

ما هو قانون حجم الكرة من الأسئلة الأساسية في فرع الهندسة في علم الرياضيات، وهو من أقدم القوانين التي اكتشفها الإنسان لأهمية الكرة واستخداماتها المتعددة في مختلف المجالات، بدءًا من الكريات الدموية الصغيرة وصولًا إلى الكواكب والأقمار، وفي هذا المقال سيتم تقديم بحث مبسط وشامل عن الكرة في الرياضيات وكيفية حساب حجمها، مع تقديم بعض الأمثلة، مرورًا بخصائص الكرة.

الكرة

قبل التطرق إلى قانون حجم الكرة من الضورري الوقوف عند تعريف الكرة، والتي تسمى باللغة الإنجليزية “Sphere”، وهي في علم الرياضيات عبارة عن سطح هندسي ثنائي، تام التناظر، يتشكل بدوران دائرة حول أحد أقطارها، أما بالنسبة للهندسة الإقليدية ثلاثية الأبعاد، فالكرة هي الفضاء الهندسي لمجموعة من النقاط، والتي تبعد بمسافة متساوية عن المركز، أو “Center” باللغة الإنجليزية، حيث إن المسافة المتساوية بين أي نقطة والمركز تسمى بنصف القطر، ويرمز له بالحرف اللاتيني r، من الكلمة الإنجليزية Radius

خصائص الكرة

يتضمن البحث عن قانون حجم الكرة البحث عن خصائص الكرة، وهي تتمثل في بعض القوانين الهندسية، والمصطلحات العلمية الخاصة، ونذكر منها ما يأتي:[2]

• قطر الكرة: وهو عبارة عن خط يصل بين نقطتين متقابلتين على سطح الكرة.
• كرة الوحدة: وهي الكرة التي يكون نصف قطرها يساوي 1.
• مساحة الكرة، “Surface area of a sphere”: وهي تحسب وفقًا للقانون: 4×л×نق².
• الخصائص الهندسية: فالكرة متناظرة تمامًا، وتتميز بمساحة واحدة، وهي خالية من الحواف.

قانون حجم الكرة

قبل أكثر من ألفي عام، اكتشف العالم والفيلسوف اليوناني الشهير أرخميدس العلاقة بين نصف قطر الكرة وحجمها، وعليه فإن قانون حجم الكرة، أو باللغة الإنجليزية “Sphere volume”، يتمثل في عملية حسابية تسمح بإيجاد كمية الفراغ الموجودة داخل الجسم الكروي الصلب، الثلاثي الأبعاد، ولذلك فهو يقاس بالوحدات المكعّبة، وفقًا للقانون الآتي:

• حجم الكرة: 4/3×л× نق³؛ مكعب نصف القطر، حيث إن:
• ح: حجم الكرة.
• نق: هو نصف قطر الكرة.
• л: الثابت باي، والذي تساوي قيمته تقريبًا 3.14.

كما يمكن حساب 4/3л، والذي يقدر ب4.19، وتحويل القانون إلى 4.19 x نق³، كما اكتشف أرخميدس أيضًا أن حجم الكرة يعادل ثلثي حجم أصغر إسطوانة يمكن لها إحاطة الكرة بالكامل.[3]

أمثلة على كيفية حساب حجم الكرة

لترسيخ مفهوم قانون حجم الكرة من المهم والضروري تقديم بعض الأمثلة عن كيفية حساب حجم الكرة، ونذكر منها ما يأتي:

• المثال الأول: أحسب حجم الكرة، علمًا أن نصف قطرها يساوي 8م.

نعوض نصف القطر في القانون بقيمته الحالية، أي 8، ومنه تصبح المعادلة كالآتي:

V=4 / 3 л x (8)³

V=4/ 3 л x 512

V ≈2145

وعليه فإن حجم الكرة يساوي تقريبًا: 2145 م³.[4]

• المثال الثاني: أحسب حجم الدائرة التي قطرها 10 سم.

علمًا أن قانون حجم الكرة يتضمن نصف القطر، وأن القطر هو ضعف نصف القطر، فإن القانون يصبح كالآتي:

V=4 / 3 л x (10/2)³

V=4/ 3 л x (5)³

V= 4/ 3 Л x 125

V= 523.8

وعليه فإن حجم الكرة يساوي تقريبًا: 523.8 سم³.[5]

• المثال الثالث: إذا كان حجم الكرة يساوي 523 م³، فما هو قطرها

بتعويض الحجم 523 في القانون الحسابي، نجد ما يأتي:

V = 4/3 лr³

523 = (4.19r³)

نقسم الطرفين على 4.19 فنجد أن:

r³ = 124.82

وبالتالي:

بتطبيق الجذر التكعيبي على الطرفين نجد أن:

r = 5

وعليه فإن نصف قطر الدائرة التي حجمها 523 يساوي 5م.[6]

قانون حجم الكرة من أهم اكتشافات وانجازات العالم أرخميدس، والذي اعتمد على رسم أشكال هندسية متساوية الأضلاع داخل وخارج الدائرة، لتحديد نسبة طول محيط الدائرة بالنسبة لقطرها، وهي القيمة الجوهرية التي تستخدم في حساب مساحات الدوائر، وكل المجسمات الهندسية المشابهة لها، وكذا أحجام الكرات والاسطوانات.